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complex analysis notes

2012-01-09 16:05:00

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\documentclass[a4paper,11pt,openany]{ctexart}

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\newtheorem*{gongli}{公理}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem*{definition}{定义}
\newtheorem{xingzhi}{性质}
\renewcommand{\proofname}{证明}

\author{张~浩}
\title{Notes}
\date{(Complex)}
\begin{document}
\maketitle
复变数和微积分中的不同\\
0.极限：求极限的轨迹\\
1.微分：一次可微分不一定无穷次可微分 $x^2sin1/x$\\
2.级数：展开Taylor级数不一定收敛到原函数 $e^{-1/x^2}$\\
3.积分：线积分

\section*{content}
目录\\
1.complex numbers\\
->2.analytic functions\\
cauchy-riemann equation/laplace equation\\
3.elementary function\\
->4.integral\\
cauchy thm,cauchy integral formula\\
5.series\\
->6.Residue thm \&application\\

与向量微分的比较\\
$z=(x,y),w=(u,v)$\\
$w=f(z)$\\
$(u,v)=f(x,y):R^2->R^2$\\

直接把极限的定义搬来是不可行的，因为分母是向量不能除，因此改写成
把极限记为0，将原极限中的分子变为$f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)$,即可。\\
suppose $f:R^2->R$
Def: $f$ is differential at $(x_0,y_0)$ if
\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}=\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f'(x_0,y_0)\cdot[(x,y)-(x_0,y_0)]}{(x,y)-(x_0,y_0)}\]

${\|((x,y)-(x_0,y_0))\|}=0$

[注]if $f'(x_0,y_0)$ is 向量, $\cdot$ is inner product。\\
Note: $f$ differ at $z_0=x_0+iy_0 \Rightarrow u,v $differ at $(x_0.y_0)$,逆不真
故复变数微分的定义要强很多

\section*{Chap.1 complex numbers}
加法与向量的类比\\
复数向量表示后的乘法定义\\
$(x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,y_1x_2+x_1y_2)$\\
只有在二维空间成立\\
交换律，结合律，分配律

$(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)$\\
还可以取倒数\\
$(x,y)^{-1}=(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2})$\\
之后就可以相除\\
在三维及以上不能推广

$(C,+,\cdot)$ 形成一个field(场，域)\\
Note：三维及以上 $\cdot$ 不能如此定义使得形成field

Note："$\leq$" cannot be applied on C

假如lexicographic order，$i>0,i>0,-1>0,R$内性质无法保留，故定义不合理。

def $|z|$ modulus(moduli 复数) or absolute value\\
def complex conjugate\\
     $z$ real $\leftrightarrow z=\bar{z}$

     $\bar{\bar{z}}z$

    $|\bar{z}|=|z|$

    $\bar{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$ 减也成立

    $\bar{z\cdot w}=\bar{z}\cdot \bar{w}$ 除也成立

    $Rez=1/2(z+\bar{z})$

   $Imz=1/2i(z-\bar{z})$

   $|zw|=|z||w|$

   $|z/w|=|z|/|w|$

   $z\bar{z} =|z|^2$
加减时有三角不等式 $|z+w|\leq |z|+|w| "="$ 成立的充要条件 $z\bar{w} \geq 0$\\
碰到绝对值就平方一下，就可以$z\bar{z}$

$Re(z) \leq |z|$

$||z|-|w||\leq |z-w|$

笛卡尔形式Cartesian form $z=x+iy$

Polar form

z不等于0时定义，因为没有角度。

$z\neq0,modulus:r=|z|,argument:\theta=\arctan \frac{y}{x}=arg z$

Note：arg not well-difined.

$arg z=\{\theta+2n\pi:n=0,+-1,+-2,\cdots\}$

Def Arg $z =\{\theta:-\pi<arg z\leq \pi\}$

乘法的几何意义\\
$arg(zw)=arg z+arg w$ 看成集合的加法，对于Arg不成立\\
$Arg(zw)\neq Arg z+Arg w$

$z^{-1}=r^{-1}(\cos\theta -i\sin \theta)$

Exponential form\\
Euler's formula:$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin \theta$ 展开成Taylor series证明两边相等\\
$z=|z|e^{i arg z}$

Power \& roots\\
de Moivre's thm:$(\cos\theta+i\sin\theta)^n$

\[\omega_n=\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n)\]
n roots:$1,\omega_n,\omega_n^2,\cdots,\omega_n^{n-1}$.privitive n-th root of unity

$z_k^n=1$,
$1+z_k+\cdots+z_k^{n-1}=0,k=1,\cdots,n-1$\\
几何意义：画出图来很显然，用向量的观点来看

$z_0$:principal n-th root of w,all roots:$z_0,z_0\omega_n,z_0\omega_n^2,\cdots,z_0\omega_n^{n-1}$

TOPOLOGY:\\
$\epsilon$ -neighborhood,deleted $\epsilon$ -neighborhood\\
interior point: 用$\exists$定义\\
exterior point: 用$\exists$定义\\
boundary point: 用$\forall$定义\\

Note：$C=Int S \cup Ext S \cup \partial S$ \& mutually disjoint(两两不交)\\
Ex：有理数集合的内点集合和外点集合是空集，边界点集为全体实数\\
Open :$S=Int S,S\cap \partial S=\varnothing$ \\
closed:$S^c is open,        \partial \subset S,        S=\bar{S},        \{accumulation points\} \subset S$\\
closure:$\bar{S}=S \cup \partial S$

(arcwise)connected\\
domain:open \& connected\\
region:domain with some boundary points.\\
accumulation point: $\forall N^O(Z_0)\cap S \neq \varnothing$.

bounded

\section*{Chap.2 Analytic functions}
将复函数看成二元函数。\\
mapping:将区域映射为什么？（图像化）\\
Ex:$w=f(z)=z^2,C\to C$,用极坐标写出来，画图看到可以将第一象限映为上半平面。
用代数形式，画图看到可以将$x=x_0\neq 0$这条直线映为抛物线\\
Ex:$w=z+a$ (translation by a)\\
Ex:$w=e^{i\theta_0}z$ (notation by angle $\theta_0$)\\
Ex:$W=\bar{z}$ (reflection)\\
Ex:$w=z+1/z$

limits

$\forall \epsilon >0,\exists \delta>0,f(N'_{\delta}(z_0))\subset N_{\epsilon}(w_0).$\\
性质和微积分相似。

limits involving $\infty$\\
$C\cup \{\infty\}$:extended complex plane\\
球极射影sterographic projection\\
$N_R(\infty)=\{z\in C:|z|>R^2\}$:neighborhood of $\infty$ 就是Riemann sphere上$(0,0,1)$点的领域对应到复平面的区域

$\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty:\forall R >0,\exists \delta>0,f(N'_{\delta}(z_0))\subset N_{R}(\infty)$.

continous:defined,exists,equal\\
连续定义的一般表示、集合语言表示。

if region is closed\&bounded,f连续函数,$|f|$能取到最值.\\
有界闭区域上的连续函数一致连续。（紧集就有有限子覆盖，取$\delta$为最小那个neighborhood的半径）

--------------------------开始进入主题------------------
\subsection*{微分}
note:\\
1.存在只在一点可微分的函数。\\
2.即使实部和虚部无穷次可微分，f也不一定可微分\\
3.若$f:C \to R$,实值复函数，若$z_0$可微分，只能$f'(z_0)=0$\\
4.in general f involves$ \bar{z} \Rightarrow f'$ not exist.\\
正式开始复变的定理:\\
C-R equation\\
Thm $f'(z_0)$存在，四个偏导数存在且有CR方程，f'可用它表示。\\
满足CR条件不可微分的例子：$f=\bar{z}^2/z,z\neq 0$;$0,z=0$。\\
Thm （满足CR条件时再满足什么时候才可微分呢？）4个偏导数在一个领域存在且连续，CR方程成立->$f'$ exists.(用中值定理证明)

C-R equation in polar form

$u_r        = \frac{1}{r}v_{\theta}$

$u_{\theta} = -rv_r$
\[f'(r_0e^{i\theta_0})=\frac{1}{e^{i\theta_0}}(u_r(r_0,\theta_0)+iv_r(r_0,\theta_0))
=\frac{1}{r_0e^{i\theta_0}}(v_{\theta}(r_0,\theta_0)-iu_{\theta}(r_0.\theta_0))\]
\subsection*{解析函数}
解析(holomorphic,analytic)：在一点的neighborhood可微分。只在一点可微分不能是解析。

entire:analytic on C\\
singular point

多元中值定理很常用\\
用梯度算子来表示

$f:D\to R$,analytic ,f=Const on D.\\
$f,\bar{f}$,both analytic,f=Const on D.

\subsection*{Harmonic functions}
$h:D\to R,D\subset C,h$ harmonic on $D$ if $h\in C^2(D) $\&$ \Delta h=0$.(Laplace equation)\\
f analytic,实部和虚部是harmonic function,v是u的调和共轭.

调和共轭:两个调和函数又满足CR方程。\\
Note：v是u的调和共轭，u不一定是v的调和共轭.\\
u,v互为调和共轭，则u,v为常数.\\
$v_1,v_2$都是u的调和共轭，$v_1,v_2$相差一个常数.\\

Does there exist an analytic $f:D \to C$ s.t. $u=Re f$?\\
Ans:NO,in general.\\
YES if D is simply connected\\
如何计算？微分方程
\subsection*{reflection principle}
$f(\bar{z})=\bar{f(z)}$,画图加深理解\\
可以定义$\bar{f(\bar{z})}$.\\
反射(对称)原理.

Lemma:D上的两个解析函数在无穷多个点${z_n}$相等,${z_n}$在D内有聚点，则两个解析函数相等.

应用时，只需判断实数对应于实数即可.
\section*{Chap.3 Elementary funcrions}
初等函数\\
1.exponential function:$e^x(\cos y+i\sin y)$,modulus,argument,periodic,mapping:$\{-\pi<Im z\leq \pi\} \to C-\{0\}$,1-1 onto.\\
2.logarithm   function:$\log z$:multiple-valued function,principal value of log z:Log z,modulus,argument,period,mapping\\
inverse function

$Log z$ not continous on C(check z=-1 的情形)\\
principal branch:\\
$w=Log z:C-\{z\in C: z \leq 0\} \to \{w\in C:-\pi <Im w <\pi\}$,1-1\&onto,analytic(用极坐标下的CR方程)

$log(zw)=log z+log w$:理解为集合的相加\\
Note:$log(z^2) \neq 2log z:log z+log z\neq2log z$.(左边是两个集合相加，右边的集合中元素是原集合的2倍，左右两个集合不同)\\
3.complex exponential function:$f(z)^{g(z)}$\\
$z^c=e^{c log z}$\\
$c^z=e^{z Log c}$:entire\\
4.trigonometric function\\
$\sin z,\cos z$,[how well-defined?:when $z=x$ is real,$\sin z $equal to $\sin x$,the "extend" is unique.]\\
entire,奇偶性,零点\\
$\bar{\sin z}=\sin \bar{z}$,reflection principle\\
period:$2\pi$

双曲函数hyperbolic

$\sinh z=(e^z-e^{-z})/2,cosh z=(e^z+e^{-z})/2$

$sin z=sin x cosh y+i cos x sinh y$

$cos z=cos x cosh y-i sin x sinh y$

$|\sin z|^2=\sin^2 x+\sinh^2 y$

$|\cos z|^2=\cos^2 x+\sinh^2 y$

故无界 unbounded

[$\cosh^2 z=1+\sinh^2 z$]

$|\sinh y|\leq|\sin z|$(or $|\cos z|$) $\leq \cosh y$

Euler formula

inverse trigonmetric/hyperbolic function

$\arcsin z=-i \log(iz +-(1-z^2)^{1/2})$

$\arccos z=-i \log(z +-i(1-z^2)^{1/2})$

$\arctan z=i/2 \log (i+z)/(i-z)$

$\sinh^{-1}z=\log(z+-(z^2+1)^{1/2})$

$\cosh^{-1}z=\log(z+-(z^2-1)^{1/2})$

$\tanh^{-1}z=1/2\log(1+z)/(1-z)$

multiple-valued
\section*{Chap.4 Integral}
参数表示$I=[a,b]\to C$
\subsection*{derivatives:}
$w(t)=u(t)+iv(t),w'(t)$.\\
Note:中值定理不成立. $w(t)\neq w'(c)(b-a)$ 复值实变函数
\subsection*{integral:}
$\int_a^b w(t)dt=\int u+i\int v$\\
fundamental thm of calculus.\\
$|\int| \leq \int||$(用指数形式证明.$Re z\leq |z|$)
\subsection*{contour:}
曲线\\
simple arc(Jordan arc):1-1,$t_1\neq t_2$ s.t.$w(t_1)\neq w(t_2)$\\
simple closed arc\\
differentiable arc\\
smooth arc($z'(t)\neq 0$),unit tangent vector $z'(t)/|z'(t)|$,arc length\\
piecewise smooth arc:contour.

常用simple closed contour
\subsection*{contour integral:}

line integral\\
\[\int_C(udx-vdy)+i\int_C(vdx+udy)=\int_C(u+iv)(dx+idy),dz=dx+idy\]

$|f|\leq M$ on C(contour,not complex plane),$L=arc length$\\
$|\int_C fdz|\leq LM$.(or $|\int fdz|\leq \int_C |f||dz|$)

Def D is simply connected if C-D is connected

evaluate $\int_Cf(z)dz$:\\
1.use definition:$z=z(t)$\\
2.use fundamental thm of contour integral:\\
f若有原函数,f的原函数解析
等价：1.f有原函数 on C2.f的积分与路径无关3.f的contour积分为0\\
3.use Cauchy Thm(加了微分是连续的条件)[Green 定理]\\
Cauchy-Goursat Thm(只有f解析的条件)[4等分,用解析的定义]\\
Cauchy Thm(II version) simply connected,closed contour (可以相交，因为没有“洞”)\\
corollary:D simply connected,f解析,f有原函数.\\
Cauchy Thm(III version):复连通,里面的洞是顺时针方向,外周积分+内周积分=0.\\
corollay:可以将contour变简单.

Note:$\int_C (z-z_0)^ndz,z_0$在C内部,n=-1时$2\pi i$\\
4.Cauchy integral formula
\subsection*{Cauchy integral formula}
Cauchy formula:被积函数变了,f除了一个东西，就得到f在某个点的值乘以$2\pi i$.[被积函数变为$f(z_0)/(z-z_0)+(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)$,之后用连续]

Note:处理只有一点,且只为1重的情况.

Note:在边界上两个函数相等，则在内部两个函数相同.

Corollary:平均值定理: $f(z_0)=1/2\pi \int_0^{2\pi}f(z_0+re^{it})dt$.(average of f over $[0,2\pi]$,积分除以区间长度)

Thm:可任意次微分.对Cauchy公式微分得formula:$f^{(n)}(z_0)=n!/2\pi i \int f/(z-z_0)^{n+1} dz$.

Note:积分可用微分来表示 \[\int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^n}dz=\frac{2\pi i}{(n-1)!}f^{(n-1)}(z_0).\]

Corollary:f的实部和虚部是$C^{\infty}$的.

More general,复连通上的formula.(compose with III version)

Ex:$\int_{|z|=1} \frac{e^z}{z^n}dz$.[$f(z)=e^z$]
\subsection*{some Thm}
Morera's Thm[inverse of Cauchy Thm] [有原函数,一次可微分则任意次可微分即证]

Note:domain D可以是复连通的,$C \subset D$是简单闭曲线.

Cauchy inequality:估计中心点的n次微分值的大小.
\[|f^{(n)}(z_0)|\leq \frac{n!M}{R^n}.\]
[Cauchy formula反过来用]

Note:$n=0$时,$|f(z_0)|\leq M$.

Liouville's Thm:$f$ entire \& bounded on C $\Rightarrow f =const$.[Cauchy inequality]

Note:$f$ entire \& $Re f$ bounded,$f=const$[$e^f,e^{-f}$]

Fundamental Thm of algebra[分成两部分,$|z|>M$,$|z|\leq M$,1/P有界Liouville]

Maximum modilus principle:open set 上的解析函数,$|f|$取不到最大.[平均值定理][用open mapping Thm 导出矛盾]

不是常数的解析函数有极大值一定定义在边界上.$||$换成实数部分、虚数部分也没有最大值$e^{f,-f,if,-if}$.

有极小值原理么？一般地,因为会有$|f|=0$出现。然而我们将次情形排除,$|f| \neq 0$,就有 minimum modulus principle.[取倒数]

\section*{Chap.5 Series}

\subsection*{simple proposition}
Warning:$z_n \to z,arg z_n $不一点趋于$arg z$
\subsection*{series}
Thm:在圆盘内解析[一次微分就无穷次可微],可展成Taylor series.[Cauchy integral formula]

Note:$z_0=0$,$f=\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$\\
最大的收敛圆 $dist(z_0,\partial D)$

find Taylor series expansion:\\
1.Use formula\\
2.Use known expansion\\
$e^z,\sin z,\frac{1}{1+z}$

\subsection*{Laurent}
在圆环上展开,$0\leq R_1 <R_2 \leq \infty$,$n=-\infty \to \infty$
\[c_n=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}ds\]
$c_{-1}$留数\\
在圆盘内解析L级数和T级数一样
Ex:有理函数,部分分式,按情形展开.按不同情况,分母提出z或常数

收敛半径:$R=1/\lim \sup |a_n|^{1/n}$,$\lim |a_n/a_{n+1}|$

\subsection*{diff,int}
定理\\
1.收敛圆内绝对收敛.收敛域内的一个紧集是一致收敛.\\
2.$f_n$连续,一致收敛,$f$连续

收敛圆内的和函数$f$连续[上述2个定理],analytic[积分和求和交换,Morera定理].

Analytic 与展开成Taylor级数等价.\\
1.$f$解析,逐项积分\\
2.逐项微分[Use Cauchy integral formula]\\
3.$f$,积分,微分后的收敛半径都相同.
\subsection*{uniqueness}

\[a_n=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\]
\subsection{Multiplication and divition of power series}
两个级数的Cauchy product
\[c_n=\sum a_kb_{n-k}=\frac{(fg)^{(n)}(z_0)}{n!}\]
除法是有限项的推广
\section*{Chap.6 Residues and poles}

把Cauchy-Goursat的应用范围变广.
$f(z)=g(z)/(z-z_0)^n,g$analytic,$\int f =2\pi i g^{(n-1)}/(n-1)!$

isolated singular point

Methods to find residue:\\
1.Find Laurent series;$c_{-1}$\\
2.$1/2\pi i \int f(z)dz$\\
\subsection*{Residue thm}
Residue thm
$\int f =2\pi i \sum Res f$

Thm:整个平面上只有有限个点不解析,这些点的留数和为
$2\pi i Res_0 1/z^2 f(1/z)$

Corollary

$f$是有理函数,$a_0z^m+.../b_0z^n+...$,$\int f=2\pi i a_0/b_0$,if n-m=1;0,if n-m>1.

\subsection*{classification}
L级数负的部分 principal part,靠它分类
1.removable singularity:没有主部,$c_{-m}=0$,redefine $f(z_0)=c_0$\\
2.pole:主部有限项order m if $c_{-m-1}=c_{-m-2}=\cdots=0$\\
3.essential singularity:主部无穷多项

pole of order m,$f=g/(z-z_0)^m$,$g\neq 0$analytic

$Res f(z)=\frac{g^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}$

故得到求留数的公式.
\subsection*{zeros of analytic function}
order m:$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$\\
$a_j=\frac{f^{(j)}(z_0)}{j!}$

D内有一列点列趋于$z_0\in D$,且都为零点,则$f$恒0[构造零空间证明既开又闭,connected不能表成2个disjoint开集的并](零点的孤立性)

Note:假如D有趋于一个聚点的点列均为零点，则聚点在边界上.两个函数在D上一个有聚点的子集上恒等,则两个函数相同.

pole 和 zero 的关系

算simple pole 的residue的一个方法:
Thm:$f,g$ analytic at $z_0$,$f(z_0)\neq 0$,$g(z_0)=0,g'(z_0) \neq 0$,then $z_0$ is
simple pole of $f/g$ \& $res = f(z_0)/g'(z_0).$

Compute $Res_{z_0}f(z)$:\\
1.展开$c_{-1}$.\\
2.$1/2\pi i\int_C f(z)dz$\\
3.if $z_0$ is a pole,order m,$\frac{[(z-z_0)^mf(z_0)]^{(m-1)}}{(m-1)!}$\\
4.simple pole $\lim (z-z_0)f(z)$\\
5.simple pole $f=g/h,h'\neq 0,g\neq 0,h=0$,$\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$
\subsection*{behavior of f near singularity}
Thm $z_0$ removable <=> bounded 在去心领域上.[<=(Riemann thm)用L级数和系数的积分表示]\\
Thm $z_0$ pole <=> $\lim f=\infty$\\
Thm(Casorati-Weierstrass)[意大利人名字结尾为母音(原音)]
$z_0$ essential,$z_0$任意小的领域都会对应到整个复平面上.[一沙一世界]\\
$\overline{f(N_{\delta}'(z_0))}=C$,即像是dense的.

Picard's Thm:$z_0$essential,f analytic,$\Rightarrow \exists w_0 \in C,f(N'_{\delta}(z_0))=C-\{w_0\}$.

\section*{Chap.7 applications of residues}
improper integral:$\int_0^{\infty}f(x)dx$,$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$

Cauchy principal value:P.V.,收敛肯定P.V.收敛,反之不成立.[偶函数是等价的]

1.有理函数(分母比分子最高项阶数大于等于2)\\
2.$\int P(x)\sin ax/Q(x)$,$\int P(x)\cos ax/Q(x)$,差2[$e^{iaz}$]
\[Jordan's inequality:\int_0^{\pi}e^{-R\sin \theta}d\theta<\pi/R,\forall R>0\]
3.$\int f(x)dx $,$f$has pole in $R$.keyhole!

proper integral:
1.$\int_0^{2\pi}F(\cos t,\sin t)dt,F is rational$
\[\int_{|z|=1}F(1/2(z+1/z),1/2i(z-1/z))dz/iz\]

\subsection{argument principle}
将缠绕数用对数积分表示再用留数定理得到$N-P$.

算零点个数用Rouche's Thm[比较定理]
$f_1,f_2$analytic on C,$|f_1-f_2|<|f_1|+|f_2|$on C,then have same no. of zeros inside C,counting multiplicities.[小于等于是三角不等式，必须是小于.证明两个缠绕数相等,$f_1=f_2 \cdot f_1/f_2$,证明$f_1/f_2$缠绕数为0,由不等式和下面的note画图可明显看出为0]

Note:$f_1,f_2 \neq 0$ on C.$f_1/f_2 \subset C-(-\infty,0]$.

\end{document}
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2011-12-04 22:41:15

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===============

在np++文件夹中新建文件userDefineLang.xml 输入以上代码即可

背景色调以暗色为主。参考AHK论坛里某会员的code~~~~~3Q
金融数学

2011-11-10 19:48:21

下午来了阿拉巴马大学的数学系主任来Zhijian Wu来作报告，讲关于金融数学的。

Wu的领域本是复分析和调和分析。怎么会想到做应用去？

Pure难道不好么，百度一下发现Wu在算子理论方面做的还可以啊…

要是我，还是会搞pure的吧。今天发问有关做问题需要哪些工具。Wu说，这是中美的差异，在美做研究想做什么再找工具。而在中只是一直学工具，不会用。这是关键的。
用于主题检测的临时日志(5edea8ef-4a3e-4498-bcef-e3752f5fc947 - 3bfe001a-32de-4114-a6b4-4005b770f6d7)

2011-08-02 16:54:57

这是一个未删除的临时日志。请手动删除它。(3e00f745-a30e-40a8-a780-e1f15d4432dc - 3bfe001a-32de-4114-a6b4-4005b770f6d7)
抑或是活着

2011-04-30 14:30:00

这个月就听到两起学生跳楼的消息。旁边大学的教学楼和北洋学堂的教学楼都坠下一个身躯。
然而他们都这样地走了，留给我们一声叹息，留给他们家人一生悲戚。

很多年前，我未能去见婶婶的最后一面，现在她的面貌我或者都要忘记了，只记得某个大年初一一起吃饺子时，婶吃到好多钢镚，说明有福气。不知又过了几年后，一阵敲门声，二姑来了告诉爸说婶跳楼了。忘了当时是怎样的感觉了，久久不能平静。

刚刚看完了《活着》，5年前吧看了电影，当时感触没有现今深刻。近来拿到书时，甚至不敢很快地读完，一天读一点，一天悲伤一点吧，然而生活却是整日悲伤。我们看着别人一辈子的悲伤暗自悲伤几天，之后便忘了该怎么活着了。

有很长时间没有这样流泪了，或许从小的泪腺发达已经把多年的泪水流干了，还是不愿意见到惹泪的故事了，不清楚了，只知道这次体验，是很久没有的泛泪。

而一有泪，就不自觉地想的很多了，我在想现在的生活能坚持多久，书中的坦然总是一笔带过，而我们的坦然也往往不经意地流逝，唯有那些惹人泪水的转折点才让我们感觉到平淡的难得。
我没有经历过很多的生离死别，却听说着身边的活着。正像余华在序中说的，我们看别人时是幸存，看自己却是实实在在的活着。

“以后不要再去议论别人的人生”，那么我就思索我的人生。未来某天，我们在不同城市的角落里想起现在的事，会是怎样的心情？每每想到假如有一天彼此分离地过着自己的生活，我会有怎样的心境，甚者在某一个重要的日期，不再见面不再熟悉，陌生的未来好令人害怕。

我们就这么活着。

却不如死去那样清静。
LaTeX~format格式

2011-04-14 09:01:02

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%=============导言部分配置宏包或定义命令供全局使用==
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\newcommand{\shuliehe}[2]{\ensuremath{#1_1+#1_2+\cdots+#1_#2}}
颓懒

2011-04-11 12:53:09

最近真的有点懒了，不想学习，不知道看什么。看着书桌上一大堆书却不知道从何看起，选修课上节也没去，很多课都不再想听了，也不知道想干什么。今天看《牛津谜案》也看了两章不想看了。

不知道是怎么了，眼看着第三次考六级近在眼前，却没有动力学习了，或许形单影只的时候就什么也不想干了吧。如今的我们只持续在一周一次的change中吧，剩下的交流全交给移动了。

上周买了3本书，从京东买的，速度很快还满50减10，拿回来以后没看多少，现在对物理好头疼，看见运动学就愁，可能是学波动方程学的。看到万有引力实在就看不下去了。

今天上实变想了半天，不想看物理看点什么呢，ODE和PDE就没事了，估计也就还是看分析吧。。这个总算不用对时间求导，分析受力，还有运用各种守恒降阶方程。可是…几何也愁，解析几何没听课的后遗症，最近看微分几何，不拿笔算终究不行啊。

哎。。。最近太懒了，今天看到zq签名顺手拈两句词，却想起已好久没有这么清闲的写诗词了，改变了几多，成长了几多？也彻底放弃这学年的奖学金评比了，何用？

人不轻狂枉少年，我在想我该去哪？有人说还早，有人说很近，我不知道。现实的人总有它的理由，而我飘飘荡荡在这尘世，又该追随谁又该被谁追随。

那些烦琐就留给你们吧~
懒人一个

2011-03-28 15:09:46

很难坚持一个blog了。多少次了，很想重新买名自己写站，但知道干不下了，去年这会就有这个想法了。

搬到BLOGBUS快一年了吧，我想。没更新很多东西，现在已习惯在夜晚的床上写日记了，便遗忘了这一供人评述的blog。

很懒却又很贪婪的人。多少次想开始却都未能开始。

这次仍旧是吧。

但至少，LaTeX在时隔3年之后终于可以勉强使用了。

Believe，从那晚开始已然释然~

加油，小